1,2,,n, se puede asociar otra función sobre el conjunto de medidas probabilísticas. i f i P E f p i f i. Además, ˆP, el dominio de la esperanza

Transcripción

1 El Método de Relajacó Aplcado a Optzacó de Ssteas Dscretos F. Szget, J. Cardllo, J. C. Heet y J. L. Calet Uersdad de Los Ades Departaeto de Ssteas de Cotrol, Mérda Veezela Laboratore d Aalyse et d Archtectre des Systees, LAAS-CNRS, Tolose -Fraca Rese: E el sgete trabajo se estra el étodo de relajacó, aplcado e la optzacó de a fala partclar de ssteas dscretos. Así, a codcó para la correspodeca etre el ío del problea orgal y del problea relajado se tradce e codcó eqalete al prcpo de ío. Ejeplos lstratos estra la técca y la codcó ecotrada. 1. Itrodccó La técca de relajacó se pede descrbr de aera seclla para la zacó de a fcó sobre doo fto: f : 1,2,,. A cada fcó sobre el doo Z 1,2,,, se pede asocar otra fcó sobre el cojto de eddas probablístcas de la sgete aera: ˆP P p : 0 p, 1,2,,; p 1, P f P E f p f. Adeás, ˆP, el doo de la esperaza ateátca, es a extesó atral del doo edda probablístca defda por: 1 P 0,,0,1,0,0, es decr, p Es fácl er qe el ío global del problea o leal cocde e 0 P 0. 1 Z. E efecto, a cada j 1, j=, 0, j. Z se pede asocar la f y el ío de la fcó leal Z A la extesó de a fcó o leal a a fcó leal tlzado la técca presetada se le deoa el étodo de relajacó. Para ssteas de cotrol clásco, ya e los años 60 J. Warga y otros tlzaro la técca de relajacó. Crosaete e los últos años ha resrgdo el so de la técca, pero e otro cotexto. Así, e ez del so de la optzacó cobatora se propoe resoler los probleas relajados, co el f de dsr la coplejdad coptacoal. E [JW62], [JW162] se aalza la eqaleca etre el problea orgal y el problea relajado. E este trabajo, plateaos el problea de relajacó e el cotexto de la optzacó de a clase de procesos a eetos dscretos (ssteas a eetos dscretos) eqpados co fcoes de costo cócaas y coexas. El prero, geércaete, sepre garatza qe la eqaleca etre el problea orgal y el problea relajado es dada esecalete co a codcó de prcpo de ío. Metras qe el segdo, es cosececa del teorea de separacó para cojtos coexos; garatzado la eqaleca etre el problea orgal y el relajado por a codcó de prcpo de ío. 2. El problea de optzacó de procesos a eetos dscretos (Sstea a Eetos Dscretos) Cosdereos el sgete problea de optzacó x k 1 A k x k b k, x 0 0 (2.1)

2 dode A : 1,1, b : 1,1, so fcoes de doo fto, defdo sobre el cojto 1,1 de los értces del hpercbo de desó. A la sececa 0, 1,, K 1 se le deoa cotroles (decsoes). La trayectora asocada al cotrol es la sececa x 0,x 1,,x K, calclada por (2.1). La fcó de costo es defda por Ahora, el objeto es hallar a sececa correspodete x 0, x 1,,x K, se cpla: para todo 0, 1,, K 1. :, coo J x, x K. 0, 1,, K 1, tal qe, para la trayectora J x, x K x K J x,, El prcpo de ío es a codcó ecesara para el cotrol ópto 0, 1,, K 1. Para acarlo ecestaos el cocepto de trayectora arada x, 0, x, 1,,x, K y la trayectora dal, 1,, 2,,, K : dode x, k x k, k, x, 1 A x b, x k 1 A k x k b k, k> y,, T,,,, k A k k 1, K R x K ;x K, k>,, 1, 0 R x K ;x K grad x K t x K x K dt. Etoces el crtero de optaldad es la desgaldad:, 1, A x b 1,A x b,, para todo y. (léase prcpo de ío sobre doos ftos [JC03]). Aqí la relajacó se defe e la dáca para, y edda de probabldad P p, la sgete aera. La trayectora x 0,x 1,, x K, se defe por: 1,1 ; de x k x k, k, x 1 p A x k b, x k 1 A k x k b k, k>. El problea de relajacó cosste e poder obteer a codcó tal qe: se cpla. x K x K x k 0,1, K ˆ K k 1,1 P P

3 3. Resltados Epeceos esta seccó dado algas obseracoes y leas ecesaros para los prcpales resltados qe obtos. Obsereos, qe s P P, es decr etoces x k,x, k. La trayectora dal correspodete, e este caso, se defe coo: Lea 1: S T k A k k 1, K R x K ;x K 0 cx, co x 1, x 0, etoces 0 c. p 1, =, 0,, Preba Por el absrdo, spogaos qe c 0, etoces, dado qe x 0 1 =, 0 0, 0 etoces 0 cx0 c 0 <0, es a cotradccó. Lea 2: S x k es la trayectora del -eso problea relajado por P p y x, solcó del problea pertrbado e el paso por, etoces k es la x k p x k, k=+1,,k. (3.1), Preba Por defcó y x, 1 A x b, x 1 p A x b p x, 1, etoces (3.1)es áldo para +1. Spoedo por dccó ateátca qe (3.1) es áldo para k, etoces para k+1, x k 1 A k x k b k P A k p x k b k p A k x k b k p x k 1. Teorea 1: S es cócaa, es decr, s para todo, 0, 1, co x y x y, x, y, se cple qe

4 etoces el problea relajado y el problea orgal tee el so ío. Es decr, s 0, 1,, K 1, es el cotrol ópto, etoces, para cada fjo, el -eso problea relajado tee el ío e P, defdo por Preba Prero deostrareos la galdad x K, ˆ P P p 1 =, 0. x K x K p 1, A x b A x b x K x K R x K ;x K x K x K K,x K x K K, A K 1 x K 1 b K 1 A K 1 x K 1 b K 1 T A K 1 K,x K 1 x K 1 K 1,x K 1 x K 1 1,x x 1 1 1, p A x b A x b p 1, A x b A x b. (3.2) Ahora spogaos qe el -eso problea relajado tee ópto e P y por la fórla deostrada aterorete 0 x K x K,. Etoces 0 p 1, A x b A x b para todo P, así coo tabé para P P y P, 1 1. Por el Lea 1, se tee 1,A x b 1,A x b (3.3) sedo (3.3) el prcpo de ío, s ecesdad de sar la cocadad o coexdad de. Ahora, spogaos qe el prcpo de ío se cple. Para a edda de probabldad P p, ltplqeos la desgaldad (3.3) por p() y seos para todo 1,1. Etoces 0 p 1, A x b A x b

5 p 1,x 1 x 1 p p K,x K x K x K x K p x K p x K x K x K, por lo qe el ío del problea relajado es alcazado e P etre el problea orgal y el relajado.. Qedado deostrada la eqaleca 4. Ejeplos 4.1. Ejeplo 1 Cosdere el sgete sstea leal e x k, co fcó de costo leal x k 1 A k x k b k, x 0 x K,x K. La aplcacó leal,x K es cócaa (tabé pede ser coexa) por lo cal co el teorea ateror el problea orgal y el problea relajado tee el so ío. Adeás las ecacoes dales so las sas ya qe la codcó cal K, es depedete de la pertrbacó o de la relajacó. Por lo cal e este caso el prcpo de ío es de la fora clásca 1,A x b 1,A x b, por lo qe e la fora Haltoaa os da H x,, 1 H x,, 1. Nota: el Haltoao es defdo coo H x,,,a x b Ejeplo 2 Cosdere el so sstea leal ateror x k 1 A k x k b k, x 0, co fcó de costo cadrátca de la fora x K Qx K,x K, y las sas cosderacoes tato para el sstea pertrbado coo para el relajado. Etoces x K x K p 1, A x b A x b. (4.1)

6 Spogaos qe es tal qe S p 1, =, 0,. 0 x K x K, (prcpo de ío), es sae e hperplao tagete qe separa e x K el cerpo coexo x K y es coexo, etoces el x : x x K de los ptos x. K, tabé separa de la cápsla coexa los ptos pto x K p x K. x K,x K, 1,1, es decr el Por lo cal, x K x K, es alor separador. Así 0 x K x K p x K x K, el alor de los dos probleas es eqalete. El desarrollo ateror se descrbe gráfcaete e la sgete fgra. xp K xp K x K Qx,x Qx K, x K Fgra 1: Sgfcado geoétrco de la relajacó 4. Coclsoes La ayoría de los probleas de optzacó dscretos, o escapa al so de étodos de optzacó cobatora, qe e prcpo so sesbles a la coplejdad coptacoal. Así, e este trabajo retoaos la dea del so del étodo relajacó sobre doos ftos codcete a la trasforacó de problea dscretos e la forlacó clásca, la cal proee a ía para resoler el problea de optzacó. Así, aqí para a fala partclar de procesos dscretos coo lo so los procesos leales e el estado eqpados co fcoes de costo cócaas o coexas, obteeos a codcó de eqaleca etre el ópto relajado y el ópto del problea orgal e la fora

7 de prcpo de ío. Para el caso co fcoes de costo leal la codcó obteda es a codcó de prcpo de ío clásca. 5. Referecas [AB00] Ar Beck ad Marc Tebolle, Global Optalty Codto for Qadratc Optzato Proble wth Bar Costrats, SIAM Joral Optzato, ol. 11, º 1, pp , [JC03], Ja Cardllo, Optzacó de Ssteas a Eetos Dscretos, Tess de Doctorado, [JL01] J.B.LASSERRE, A explct exact SDP relaxato for olear 0-1 progras, Rapport LAAS No th Iteratoal Coferece o Iteger Prograg ad Cobatoral Optzato (IPCO'VIII), Utrecht (Pays-Bas), J 2001, Lectre Notes Copter Sceces 2081, Eds. K.Aardal, B.Gerards, 2001, Sprger, ISBN , pp [JL03] J.B.LASSERRE, T.PRIETO RUMEAU SDP VS. LP Relaxatos for the oet approach soe perforace ealato probles, Rapport LAAS N 03125, Mars 2003, 16p. [JW62] J. Warga, Relaxed Varatoal Proble, Joral of Matheatcal Aalyss ad Applcatos, 4, , [JW162] J. Warga, Necessary Codto for M Relaxed Varatoal Proble, Joral of Matheatcal Aalyss ad Applcatos 4, , [JW72] J. Warga, Optal Cotrol of Dfferetal ad Fctoal Eqatos, Acadec Press 1972, Card Nber

8 Ths docet was created wth W2PDF aalable at The regstered erso of W2PDF s for ealato or o-coercal se oly.